Метод Рунге-Кутта решения дифференциальных уравнений и их систем

© 2006 Андрей Садовой

Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка следующего вида:
      ,
      ,
      и т.д.,

которые имеют решение:

      ,
      ,
      и т.д.,

где t – независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. – искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. – заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно дифференциальное уравнение – частный случай системы с одним элементом. Поэтому, далее речь пойдет для определенности о системе уравнений.

Метод может быть полезен и для решения дифференциальных уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они могут быть представлены системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Метод Рунге-Кутта заключается в рекурентном применении следующих формул:
      
      
      ...
где
      ,
      ,
      ,
      ,
      ,
      ,
      ,
      

Реализация Метода Рунге-Кутта на Delphi может выглядеть так (привожу полностью модуль):

unit RK_Method;

interface

type
   TVarsArray = array of Extended; // вектор переменных включая независимую
   TInitArray = array of Extended; // вектор начальных значений
   TFunArray = array of function(VarsArray: TVarsArray ):Extended;
   // вектор функций
   TResArray = array of array of Extended; // матрица результатов
   TCoefsArray = array of Extended; // вектор коэффициетов метода

function Runge_Kutt( // метод Рунге-Кутта
   FunArray: TFunArray; // массив функций
   First: Extended; // начальная точка по независимой координате
   Last: Extended; // конечная точка по независимой координате
   Steps: Integer; // число шагов по независимой координате
   InitArray: TInitArray; // вектор начальных значений
   var Res: TResArray // матрица результатов включая независ. переменную
   ):Word;
   // возвращаемое значение - код ошибки

implementation
Function Runge_Kutt( // метод Рунге-Кутта
   FunArray: TFunArray; // массив функций
   First: Extended; // начальная точка по независимой координате
   Last: Extended; // конечная точка по независимой координате
   Steps: Integer; // число шагов по независимой координате
   InitArray: TInitArray; // вектор начальных значений
   var Res: TResArray // матрица результатов включая независ. переменную
   ):Word; // возвращаемое значение - код ошибки
var
   Num: Word; // число уравнений
   NumInit: Word; // число начальных условий
   Delt: Extended; // шаг разбиения
   Vars: TVarsArray; // вектор переменных включая независимую
   Vars2,Vars3,Vars4: TVarsArray; // значения перем. для 2-4 коэф.
   Coefs1: TCoefsArray; // вектор 1-ыx коэффициентов в методе
   Coefs2: TCoefsArray; // вектор 2 коэффициентов в методе
   Coefs3: TCoefsArray; // вектор 3 коэффициентов в методе
   Coefs4: TCoefsArray; // вектор 4 коэффициентов в методе
   I: Integer; // счетчик цикла по иттерациям
   J: Word; // индекс коэф.-тов метода
   K: Integer; // счетчик прочих циклов
begin
   Num:=Length(FunArray); // узнаем число уравнений
   NumInit:=Length(InitArray); // узнаем число начальных условий
   If NumInit<>Num then
     begin
       Result:=100; // код ошибки 100: число уравнений не равно числу нач. усл.
       Exit;
     end;
   Delt:=(Last-First)/Steps; // находим величину шага разбиений
   SetLength(Res,Num+1,Steps+1); // задаем размер матрицы ответов с незав. перем.
   SetLength(Vars,Num+1); // число переменных включая независимую
   SetLength(Vars2,Num+1); // число переменных для 2-го коэф. включая независимую
   SetLength(Vars3,Num+1); // число переменных для 3-го коэф. включая независимую
   SetLength(Vars4,Num+1); // число переменных для 4-го коэф. включая независимую
   SetLength(Coefs1,Num); // число 1-ыx коэф. метода по числу уравнений
   SetLength(Coefs2,Num); // число 2-ыx коэф. метода по числу уравнений
   SetLength(Coefs3,Num); // число 3-иx коэф. метода по числу уравнений
   SetLength(Coefs4,Num); // число 4-ыx коэф. метода по числу уравнений
   // Начальные значения переменных:
   Vars[0]:=First;
   For K:=0 to NumInit-1 do Vars[K+1]:=InitArray[K];
   For J:=0 to Num do Res[J,0]:=Vars[J]; // первая точка результата
   For I:=0 to Steps-1 do // начало цикла иттераций
     begin
       For J:=0 to Num-1 do Coefs1[J]:=FunArray[J](Vars)*delt; // 1-й коэфф.
       // Находим значения переменных для второго коэф.
       Vars2[0]:=Vars[0]+delt/2;
       For K:=1 to Num do Vars2[K]:=Vars[K]+Coefs1[K-1]/2;
       For J:=0 to Num-1 do Coefs2[J]:=FunArray[J](Vars2)*delt; // 2-й коэф.
       // Находим значения переменных для третьго коэф.
       Vars3[0]:=Vars[0]+delt/2;
       For K:=1 to Num do Vars3[K]:=Vars[K]+Coefs2[K-1]/2;
       For J:=0 to Num-1 do Coefs3[J]:=FunArray[J](Vars3)*delt; // 3 коэфф.
       // Находим значения переменных для 4 коэф.
       Vars4[0]:=Vars[0]+delt;
       For K:=1 to Num do Vars4[K]:=Vars[K]+Coefs3[K-1];
       For J:=0 to Num-1 do Coefs4[J]:=FunArray[J](Vars4)*delt; // 4 коэфф.
       // Находим новые значения переменных включая независимую
       Vars[0]:=Vars[0]+delt;
       For K:=1 to Num do
       Vars[K]:=Vars[K]+(1/6)*(Coefs1[K-1]+2*(Coefs2[K-1]+Coefs3[K-1])+Coefs4[K-1]);
       // Результат иттерации:
       For J:=0 to Num do Res[J,I+1]:=Vars[J];
     end; // конец итераций
   Result:=0; // код ошибки 0 - нет ошибок
end;

end.

Модуль полностью работоспособен. Возвращаемое функцией Runge_Kutt значение – код ошибки. Вы можете дополнить список ошибок по своему усмотрению. Рассчитанные функции системы помещаются в массив Res. Чтобы не загромождать код, в модуле опущены проверки (типа блоков try). Рекомендую их добавить по своему усмотрению.

Ниже приводится описание функции Runge_Kutt и типов, использующихся в модуле.

Function Runge_Kutt (FunArray: TFunArray; First: Extended; Last: Extended; Steps: Integer; InitArray: TInitArray; var Res: TResArray):Word;

Здесь:
   FunArray - вектор функций (правых частей уравнений системы);
   First, Last - начальная и конечная точки расчетного интервала;
   Steps - число шагов по расчетному интервалу;
   InitArray - вектор начальных значений
   Res - матрица результатов включая независимую переменную.

В модуле описаны типы:

type
   TVarsArray = array of Extended; // вектор переменных включая независимую
   TInitArray = array of Extended; // вектор начальных значений
   TFunArray = array of function(VarsArray: TVarsArray ):Extended; // вектор функций
   TResArray = array of array of Extended; // матрица результатов
   TCoefsArray = array of Extended; // вектор коэффициетов метода

Функция возвращает коды ошибок:
  0 – нет ошибок;
  100 - число уравнений не равно числу начальных условий.

Решение содержится в переменной-матрице Res. Первый индекс матрицы относится к переменной (0 – независимая переменная, 1 – первая зависимая и т.д.), второй – к номеру расчетной точки (0 – начальная точка).

Рассмотрим один пример использования модуля. Создадим новое приложение и подключим к нему модуль. На форме приложения разместим кнопку Button1 и область текста Memo1. Поместим в приложение две функции и обработчик нажатия кнопки:

//Задаем функции (правые части уравнений)
function f0(VarArray:TVarsArray):extended;
begin
   Result:=4*VarArray[0]*VarArray[0]*VarArray[0];
end;

function f1(VarArray:TVarsArray):extended;
begin
   Result:=1;
end;

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
   I: Integer;
   FunArray: TFunArray; // массив функций
   First: Extended; // начальная точка по независимой координате
   Last: Extended; // конечная точка по независимой координате
   Steps: Integer; // число шагов по независимой координате
   InitArray: TInitArray; // вектор начальных значений
   Res: TResArray; // матрица результатов включая независ. переменную
begin    // Создаем вектор функций:
   SetLength(FunArray,2);
   FunArray[0]:=f0;
   FunArray[1]:=f1;
   // Задаем интервал и число шагов:
   First:=0;
   Last:=10;
   Steps:=10;
   // Задаем начальные условия:
   SetLength(InitArray,2);
   InitArray[0]:=0;
   InitArray[1]:=0;
   // Вызов метода и получение результатов:
   Memo1.Lines.Clear;
   I:=Runge_Kutt(FunArray, First, Last, Steps, InitArray, Res);
   ShowMessage('Код ошибки = '+IntToStr(I));
   For I:=0 to Steps do
     Memo1.Lines.Add(floattostr(Res[0,I])+' '+floattostr(Res[1,I])+' '+floattostr(Res[2,I]));
end;

Нажатие кнопки приведет к расчету точек системы, которые будут выведены в текстовую область.

Модуль с примером и справкой можно скачать: русский вариант (бесплатно) или английский вариант (условно-бесплатно).

Copyright© 2006 Андрей Садовой  Специально для Delphi Plus

---

Пожалуйста, оцените статью

Отлично Хорошо Средне Плохо Очень плохо